2002．6

第一卷（选择题共60分）

参考公式

三角函数的和差化积公式　　　　　　　　 圆台的体积公式

　　　　　 其中r₁，r₂分别为圆的上、下底面半径，

　　　　 h表示圆台的高

　　　　 球体的体积公式

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合，则实数m的取值范围是

A．m ≥　　　　 B．m ＞ –1　　 C．m ≤ 　　　　　D．m ＜

（2）若直线l过点（3，0）且与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有

A．1条　　　　　　 B．2条　　　　　 C．3条　　　　　　 D．4条

（3）若复数z满足|z+4+3i|= 3，则复数z的模应满足的不等式是

A．|z| ＜ 8　　　　 B．|z| ≤ |-4-3i|　 C．2≤|z|≤8　　　　 D．5≤|z|≤8

（4）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是

A．　　　　　 B．　　　 C．　　　　 D．

（5）设P（x，y）是曲线C：上任意一点，则的取值范围是

A．　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　 D．

（6）A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A、B两种商品必须排在一起，而C、D两种商品不能排在一起，则不同的排法共有

A．12种　　　 B．20种　　　　 C．24种　　　　　 D．48种

（7）设函数的图像是

（8）用一块长3m，宽2m的矩形木板，在二面角为90^O的墙角处，围出一个直三棱柱形谷仓，在下面的四种设计中，容积最大的是

（9）在等比数列{a_n}中，等于

A．6　　　　　　 B．-6　　　 C．±2　　　　　 D．±6

（10）已知是凸函数，则对于区间D内的任意

若函数y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是

A．　　　　　 B．　　　 C．　　　　 D．

（11）一个半径为R的球，在一个水平放置的，内壁为半圆柱形（圆柱底面半径也是R）的槽内恰好可以无滑动地滚动一周，从槽的一端滚向另一端，设球的表面积为s，槽的内壁面积为s′，则s与s′的大小关系是

A．s =s′　　　　 B．s ＜s′　　 C．s ＞s′　　　 D．不确定

（12）若的大小关系是

A．　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　 D．不确定

第二卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上

（13）若展开式中各项系数的和为128，则展开式中x²项的系数为__________________________________。

（14）是正实数，如果函数上是增函数，那么的取值范围是_______________________。

（15）在数列{a_n}中，a_n＞0，s_n是它的前n项和，且，则它的通项公式是a_n =______________________。

（16）已知椭圆，是它的两个焦点，若P是椭圆上任意一点，的最小值是___________________________________。

三、解答题：本大题共6小题共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

（17）（本题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c若a，b，c成等比数列。

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求的取值范围。

（18）（本题满分12分）

已知

（Ⅰ）求函数；

（Ⅱ）试比较的大小。

（19））（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，四边形A′ABB′是菱形，四边形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB。

（Ⅰ）求证：平面CA′B⊥平面A′AB；

（Ⅱ）若C′B′=3，AB=4，∠ABB′=60^O，求直线AC′与平面BCC′所成角的正弦值。

（20）（本小题满分12分）

有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元，它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式。现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？

（21）（本小题满分13分）

已知椭圆中心在原点，以抛物线的焦点为其右焦点，并且椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，A、B是椭圆上两点，弦AB中点M在直线x=4上。

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）求证弦AB的垂直平分线l与x轴交于定点。

（22）（本小题满分13分）

已知函数，记数列{ a_n }的前n项和为s _n，且有当n≥2时，

。

（Ⅰ）计算a ₁；a ₂ ；a ₃ ；a _{4 。}

（Ⅱ）求出数列{ a_n }的通项公式，并给予证明。