一、教材分析

　　 本节是高中解析几何的圆锥曲线一章中的开端。圆是学生比较熟悉的几何图形，圆的性质学生也比较容易接受，要注意的是，在圆这一部分所体现出来的研究方法却是今后研究圆锥曲线的主要方法，因此，可以把圆看作是研究圆锥曲线的前奏曲。曲线与方程的关系是今后处理圆锥曲线问题（处理轨迹）的一个理论工具，是教材中首次界定了二者关系。其中的充分必要条件的判定、求轨迹方程的五步法都是解析中最重要的问题，都应当仔细加以研究。

二、教学对象分析

高中三年级的学生逻辑思维有了较好基础，注意力能够集中较长时间，学习目的明确，内驱力是主要的学习动力。学生比较熟悉该内容的大部分，但是对曲线与方程的关系的理解存在模糊认识。

三、学习目标

理解曲线与方程的关系，并能进行简单的判定；掌握充分必要条件的判定程序；掌握求轨迹方程的五步法。

四、教学重点与难点

重点是：圆的方程、位置关系；充分必要条件的判定程序；求轨迹方程的五步法。难点是曲线与方程的关系。

五、教学媒体及教学策略

教学反馈系统。通过教学反馈系统反映的情况，仔细考察学习目标的达到情况。然后进行讲评、调控。

六、教学流程图

《圆、曲线与方程复习》教学流程图

七、教学过程

第一部分：圆的复习（教师投影纲要，学生叙述）

〖一〗圆的定义与圆的方程

[1] 圆的定义：平面上到一定点的距离等于定长的点的轨迹。

[2] 圆的标准方程：

[3] 圆的一般方程：

[4] 圆的标准方程与 圆的一般方程各有各的优点， 圆的标准方程具有明显的几何意义，方程本身清楚地表明了圆心、圆半径；圆的一般方程的代数特点是二次项系数都为1，将点的坐标代入方程后，得到的方程是一次的，很好处理。

〖二〗点与圆的位置关系

　　 。　　 。　　　　　　 。 。　　　　　　　 。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[1] 种类：点在圆外；点在圆上；点在圆内。

[2] （代数法）定性的判断：将点的坐标代入圆的方程，适合方程则点在圆上；不适合方程则点不在圆上。

[3] （几何法）定性、定量的判断：计算点与圆心的距离，与圆半径进行比较。

　 ：点在圆外；：点在圆上；：点在圆内。

〖三〗直线与圆的位置关系

[1]种类：直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交。　

[2]（代数法）定性的判断：将直线方程代入圆的方程，计算判别式⊿。

⊿> 0 ，直线与圆相交；

⊿ = 0 ，直线与圆相切；

⊿< 0 ，直线与圆相离。

[3]（几何法）定量的判断：计算圆心到直线的距离 ，与圆的半径进行比较。

>：直线与圆相离；

=：直线与圆相切；

<：直线与圆相交。

[4]弦长的求解：

　 在圆的弦长问题中，我们很少使用弦长公式，经常利用弦心距、圆半径、半弦长三者构成的直角三角形，应用勾股定理求解有关 圆的弦长问题。既：

[4]由圆外一点向圆引切线，切线方程的求法

设圆外一点M（），圆C方程为：

1]设切线的斜率为，则切线方程为：

M（） C（） 2]计算圆心到切线的距离，令其等于圆半径，可得关于的方程 ，解方程可得

3]用点斜式写出切线方程。

注：第2]步还可“将切线方程代入圆的方程，整理成关于或的一元二次方程，令判别式为零，可求得。

　　 由圆外一点向圆引切线，应当有两条切线。但，可能只算出一个 来，那么，另一个就不存在，但切线依然存在。

〖四〗圆与圆的位置关系

[1]种类：

　　　　　　　

　　　 ·　　 ·

两圆相离　　　　　　　　　　　 两圆外切　　　　　 两圆相交

两圆内切　　　　　　　　 　　　两圆内含

[2]定性、定量的判断方法：

1]计算两圆圆心之间的距离，再与两圆的半径之和、两圆半径之差的绝对值进行比较，确定两圆的位置关系。

2]>：两圆相离

　 =：两圆外切

　　 <<： 两圆相交

　 =：两圆内切

<：两圆内含（=0：两圆同心）

注：由于圆的方程是二元二次方程，使用纯代数方法较麻烦。

〖五〗两圆的公切线求法

[1]两圆相交时的公共弦方程、两圆外切时的内公切线、两圆内切时的外公切线：两圆方程作差，消去二次项所得的直线方程既为所求。

[2]如图：明显地有三角形相似，故，点P可视为、两点的外分点，， 因此，可求出P点的坐标；问题就可转化由圆外一点向圆引切线（任选一圆）。　　

　 此种方法适用于两圆相离时的四条内、外公切线；适用于两圆外切时的两条外公切线；适用于两圆相交时的两条外公切线。

第二部分：曲线与方程

〖一〗曲线与方程的本质关系

教师：曲线与方程是同一运动规律在几何、代数方面的表示，因此，二者应当是等价的。怎样定义这种等价关系？曲线可分解为一个一个的点，故，曲线为一个点集。而方程可视为解的集合。根据集合相等的定义，应当规定：“点集”是“解集”的子集，同时，“解集”是“点集”的子集。既，教材上说的：曲线上每一点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上。只有在这种情况下，才能称：曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程。

〖二〗充要条件

[1]判断充要条件的程序：1]分清条件、结论

2]判断：充分性 条件Þ？结论

　　　 必要性 结论Þ？条件

3]回答

[2]说明：充分既足够、够用，既足以保证结论的成立

　　　　 必要既不可缺少的、没它结论就不能成立。

[3]结论形式：

充分必要条件；充分不必要条件；

必要不充分条件；既不充分也不必要条件

〖三〗求曲线方程的基本步骤

[1]建立适当的直角坐标系，设动点坐标（简称：建系、设点）

[2]列出动点满足的等式（简称：列等式）

[3]将等式中的量用已知量或动点坐标表示出来（简称：等式坐标化）

[4]化简（称：化简）

[5]考虑曲线上的特殊点，考虑题目条件的限制需除去（或补上）曲线上的哪些部分（简称：多退少补）。

注：此方法是解析中求轨迹方程的最基本的方法，务必记住。

八、检测题分析

这张测试题，难度适中，覆盖面大，题型全。

九、应答结果、数据分析：

检测题中答的不好的题目如上表，答的好的就没有列出。

[1]“1”题分析：需要设所求的式子为一直线方程，使其与圆相切，还需判定那一条切线是所求的，有技巧有判断，没见过的学生是不容易做出来的，更不容易做对。

调控措施：测后立即集中讲评。

[2]“12”题分析：圆上的点到定直线的距离为定值的点有几个？这首先需计算圆上的点到直线距离的最大值与最小值，然后与给定数值进行比较，结果有五种情况，学生不容易做对。

调控措施：要求学生课下画出五种情形，并给出五种情形的代数判断形式。

[3]“19”题分析：三角形的条件没有利用充分。

调控措施：提示注意充分利用条件。

[4]“26”题分析：条件没有利用充分

调控措施：提示注意充分利用条件。

[5]“28”题分析：必要性的判断出错。

调控措施：重新强调必要性的判断程序。

[6]“30”题分析：关键对“第一象限”的理解，应当是无限个分段区间，而不是一个区间，函数在这个（无数个区间）定义域上，数值是在每一段上都从“0”到“1”，如同正切函数一样，故，不能说是单调函数。

调控措施：复习单调性定义，强调单调是函数在整个定义域上的性质。

十、本节小结

　 圆的方程、位置关系，曲线与方程的关系，充分必要条件，五步法都是解析的重要内容，是今后研究圆锥曲线的预演。