重庆市梁平县红旗中学数学组    唐  龙

引子：我们数学老师经常想的或讨论的一个问题：“怎样才教好数学”或“最好的教学方法是什么？”我说：“不教，是最好的教学方法。即教是为了不教。以前我在学校开玩笑说，真正教得好的就不教书了，去当官去了，或者评了高级（研究员）之类后，就没上课了，退修去了，或者去搞数学研究去了。”
当然，我这里的不教，并不是不搞教学了，而是有一套较好的教育理论、学习方法传授给学生，使他们主动探究学习，从而达到不需要老师教他，而终身受益。要做到这一点，谈何容易。下面从几个方面与同仁探讨：
一、21世纪，数学教育的基本观点对当前中学数学教学教育的导向。
二、新课标中的一些基本理念对当前中学数学教育教学的新导向。
三、看2002年高考试题的出新对当前中学数学的新导向。
四、常用的教学模式和典型个例。（介绍本校“十五”重点课题教学模式）

 
一、21世纪，数学教育的基本观点对当前中学数学教学教育的导向。
我们刚为人师时，凭年轻人的工作热忱，尽我们的能力将所有知识一个劲地向学生传授。学生的成绩较好，但其能力就不便考查了。几年后，我们总在想，甚至向学生宣传，我们学习数学尤其是高中数学有什么用？若我们不升学或搞教学研究，我们是否只学小学加减乘除就够用了。即是考上大学后工作时，也很少用数学。因此，我们学习高中数学的目的就是升学争分或是训练人们的逻辑思维了，用这种思想指导我们的教学，进行大量的题海战术，但学生的数学能力仍很差，甚至出现了高分低能的现象。
1、尖锐的矛盾迫使我们思考
高考体制和社会的压力导致中学数学教育教学围绕高考转，似乎中学生学习数学就是为了升学，不愿升学的就不愿学数学。升学以后不搞数学专业，也不再学数学了。这样一来，不论升学与否，学生的数学素质得不到真正的培养，中学毕业后就业的学生除了自己并不意识的一点逻辑素养以外，很少有学生想到在工作中用一点数学；进入数学专业的学生，常常显得并不具备能较好理解数学实质的素养，大学非数学专业的学生进入专业以及参加工作后，没有应用数学帮助解决问题的意识和能力，因而影响数学在社会中的地位。
但是随着社会的进步，市场经济的冲击，数学在20世纪后期和本世纪得到空前的发展。如在市场经济下各企业的竞争在不断加剧，竞争的焦点是：对产品质量的要求越来越高，对人的工作质量也越来越高，这要求使所用的工具或技术越来越精细，所采取的方法中的定量成分（数学思维）越来越多。如生产一个群众喜欢的产品，要美观，要便宜，要耐用，工人不能跟着感觉走，随意加工，而可能反复绘出图形，用数学公式计算，又要进行市场调查，随时改革产品性能等。这就是从不用数学到用数学，这是对产品质量和工作质量要求提高的必然结果。所以，最近几年，尤其是今年大城市用工要求是具有高中文化以上的务工人员。
对于一个普通农民来说，如果说过去不懂数学还可以勉强应付生产，那么，今天已经混不下去了。过去农村是集体制，生产队派活，分配干什么就干什么，不懂数学关系不大。现在农村实行承包制，既要生产，又要经营，既要考虑成本、利润、投入贷款、资金周转效益等一大堆问题，因而缺乏与这些经济活动有关的数学知识，势必寸步难行。因此，农村贫富差距将越拉越大。
又如，数学应用的实现与计算机的发展紧密相连，计算机向一切领域的渗透和数学向一切领域的渗透，成了当今社会的明显特征，如我们中学教学的若将计算机等现代信息技术与中学数学有机地整合起来，我们的教学质量就要上一个台阶……
因此，有人说：“高技术本质是一种数学技术”、“专题加数学，为公式出现了各种学问”，如“金融数学、投资数学、营销数学”。
因此，我们看到了关于数学的一些新的提法：
“数学是机遇和职业的关键”，“在21世纪，没有相当的数学知识就是没有文化，就是文盲”。
时代的发展，使数学成了当今社会的宠儿，它不仅是一种应用广泛工具或技术，而且是一种有效的定量思维方法，它不是少数人的专利，而属于全体大众，它正在成为当今社会的一张“通行证”，每个人都要学数学，只是程度不同而已。
2、数学教育教学的任务和改革方向。
（1）向社会进行多方面的宣传，这也是一种数学教育。
数学是属于大众的，它渗透到社会的一切方面，并发挥了重大作用。因此，数学教育应该象向社会进行卫生教育、体育教育、国防教育那样进行多方面的宣传，现在社会上由于种种原因，对数学实在是太不了解。如我们使用计算机，我们并不知道数学知识在那里，有一次我计算机出故障，我就请常艳（同学）去修，他说：计算机语言就是一种函数对应。又如，在推广全面质量管理时，并不注意统计知识和统计方法。就连打牌也有数学知识和数学方法。企业、事业和国家机关的负责人员、技术人员，不知道数学在他负责的范围内的作用。要改变这一状况，关键在于建立全民族的数学意识和普遍提高人民大众的数学修养。因此我们数学教育工作者都应主动向他们宣传。不仅讲一般道理，而且要通过具体事例主动地说明数学的具体应用，这样做，不仅可能促进数学在社会中发挥作用，而且也是争取社会支持数学教育教学改革的一条有效的途径。
2、数学教育为培养和提高公民素质服务。
数学属于大众的，因此，数学教育为培养和提高公民的数学素养服务。由于多数学生毕业后需要就业，即是数学专业人才，在中学也是打基础阶段。所以在中学数学教学中，不论从知识，还是训练来说，数学的应用是一个非常重要的问题。以前中学数学教材与中学生日常生活以及他们具有的其他知识和经验的联系太少，其结果是在中学生思想中，应付高考几乎是他们学习数学的唯一目的，几乎没将数学应用于实际的意识，也许他们认为数学本来在生活和工作中，就没有用。新课标高中数学能很好的解决了这一问题。即注重了“数学应用问题”，如新教材中每一章的开始，每个概念的导入大都从生活、生产实际例子引入，而例题习题也配备了不少的应用问题。如何教学这一问题，有的老师有不同的看法，他们认为只要数学学好了，应用是不成问题的。因此，忽略了这一内容，这一内容，往往是题目较长，阅读量较大，计算有时较繁，很多学生也放弃这一内容，考试干脆不做。实际上，如果平常没有数学应用的训练，要想达到应用数学于实际的能力，个别数学修养相当高的同学能够应用于实际，但大部分中学生要达到应用数学的能力是不可能的。更何况，当有了这种能力的时候，没有应用意识，他们就会对数学应用不感兴趣。
因此，我们在教学这一内容时，对学生进行反复教育，使他们认识数学能够广泛应用，感悟到身边处处有数学，身边处处是数学，即着重培养学生（尤其是文科生）的数学应用意识和初步的数学应用能力，使他们将来一旦遇到实际问题时，都能想一想，能否用数学帮助解决，如果能，就会想办法（哪怕是要查资料，再学些东西也罢）去用数学，因此，培养中学生的数学应用的意识和能力是我们数学教育改革的一项重要任务。
3、数学教育教学内容的选择是数学教学改革的一个重要内容。
有些内容偏于陈旧，如复杂的三角公式、分式运算等，删去了，以前教材有些选学（实际上是不学）改为必学，如概率和统计，这一内容它既有极其广泛的应用，又是中学阶段能唯一培养学生从不确定（即统计）的角度观察世界的数学内容。这里有一个信息，2003年2月9日—13日教育部基础教育司和广东省教育厅在广州联合举办了“普通高中新课程实验研修班”，在此，教育部有关负责人指出：2004年起，试行高中课改新方案，指出：新方案，包括课程结构的大调整，新课程科目的设置，教学内容选择与编排，学习与考试方式改革（2007年高考改革），高考与教学效果的评价等内容，对今后高中生的培养与升学影响很大，其中高中教育的指导思想发生了很大的变化。现在高中教育的指导方针是：培养合格的劳动后备军，为高一级学校输送合格的人才。新课标的指导思想是：为造就数以亿计的高素质劳动者，数以万计的专门人才和一大批拔尖创新人才奠定基础。这就说明，高中教育培养的最大多数的人是“高素质劳动者”而能够继续深造的“专门人才”“拔尖创新人才”只是其中的一部分。
二、新课标中的一些基本理念对当前中学数学教育教学的新导向。
（1）数学课程：以往教学大纲强调注重数学的基础知识、基本思想和方法以及发展学生的基本技能；特别是发展学生的逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，分析和解决问题的能力。
新课程体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展，特别强调了中学数学课程应用基础性、多样性与选择性。
（2）数学应用与人文价值
以往数学应用，我们经历了一条从无到有，从有到多，从旧变新的变革，但应用题大多数题型陈旧，不能反映与现代社会紧密相关的应用题。新课标中为学生创设了应用实践空间，如“数学建模”的专题课程，“数学与社会”课程，同时注意介绍了数学发展的历史、应用和趋势，体现了数学的社会需要，数学家的创新精神，数学的美学价值，帮助学生逐步形成正确的数学观，并最终成为正确的世界观的组成部分。
（3）数学学习内容
原大纲上两条原则，一是“必需”“基本”“可接受”和“最有用的”；另一条是纵向“衔接”与“横向”配合。
新课标提倡：学生的数学学习内容当是现实的，有意义的，富有挑战性的，这些内容有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动。
（4）内容呈现方式
以往教材注重从定义、公理出发，按知识系统展开，依赖模仿与记忆，让学生获取知识。因此，现行教材主要采取的“定义、公理——定理（公式）——例题——习题”的形式呈现，在新教材中，采用了不同的表达方式，以满足多样化的学习需求，特别提倡学生动手实践、自主探索与合作交流学习。提倡以“问题情境——建立模型——解释——应用与拓展（反思）”的基本模式。
（5）教学过程
以往大纲要求，上好一堂数学课，必须要突出重点，抓住关键，突破重难点，引导学生在学好概念的基础上掌握数学规律，这是50年代教学模式“组——复——新——巩——布”，但这些做法都是着眼于知识的传授行为，强化教师的主导地位。新课标中，要求教师应设法激起学生学习的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流过程中掌握基本的数学技能，思想和方法，获取广泛的活动经验，在教学活动中，学生主体，教师是组织者、引导者和合作者，要让学生有更多的主动思考的空间，其模式是“创设情境——活动尝试——师生探究——巩固反思——作业质疑”。
三、看2002年高考试题的出新对当前中学数学的新导向。（供参考）
最近几年高考中出现了考查创新能力“五新”试题（即新概念、新定理、新记号、新规律、新情景），尤其是2002年高考试题的几个变化，对我们今后高中数学教学有指导意义。
（1）一是深化能力立意，淡化知识覆盖
以前高考是考多少个知识点。高中数学有120多个知识点，每年高考约考90%个知识点，因此，我们教师引导学生复习的策略是梳理知识点，人们常说的“踩点”，学生练习也是在练习某一些知识点，先是章节复习、练习（第一轮复习），再是综合练习（即第二轮专题复习），第三轮综合练习即横纵布织知识网络。
但今年全国高考题（文科）解答题中出现了两道立体几何题（第19、21题），不少教师与学生对此感到奇怪。事实上，随着高考改革的不断深入，近几年数学高考题出了“命题要以知识立意转变为能力立意”，即突出的考学生的数学素养和能力，强调的是数学思想方法的考查，注重知识的理解与联系，不追求知识点面面俱到，而求能力要逐步到位，不追求试题的知识容易。运算步骤和非常规方法，而强调试题的思维质量和所用的基本思想和方法；不再以某些知识点为考查的套路，考查内容不再以某些知识为主线，而是以能力为主线，试题以中学数学中一些比较基本的数学思想和方法，以各种不同的层次融入试题之中，通过考查学生对数学思想方法的自觉运用，来对考生的数学能力作出区分。
2、整套试卷主要考查的几种数学思想
分类讨论思想—— 文第（3）（4）（6）（20）
理第5、19、21、22
数形结合思想—— 文第1、4、5、7、10、14、16、17、20、21
理第1、4、6、9、10、13、14、21
函数与方程思想—— 文第4、6、9、10、20
理第5、10、13、21
等价转化思想——在整个试卷中，几乎题题可见。因此，在我们的教学中，以数学问题为载体，将数学思想方法传授给学生，使他们自觉用这些思想方法，即掌握知识不是主要目的，即方法比知识更重要。
3、注重创新，体现课标新理念
试卷中十分重视数学在实际中的应用，特别是函数最值问题，文理科各有近50分的题有关，如理科12题，取材于2002年3月九届人大五次会议《政府工作报告》，涉及“增长率”，“国内年生产总值”等问题，文科第13题取材于2002年3月新华社关于我国农村人均居住面积的报道，通过解读图表给予的信息，分析数据，解决问题，理科第（20）题的背景为某城市的汽车保有量，从环保角度出发，计算每年新增汽车数量不超过多少辆。
整套试卷中，既重视现行教材，又体现了新课标理念，“人人学有价值的数学，人人能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。如理科（13）题考查增长率及值值计算，理科（16、22）题考查探究，猜测、归纳等数学活动能力，文科第22题立几将三角形剪拼成正三棱锥和正三棱柱的模型，考查学生探究、动手、实践、自主探索等学习数学的重要方式，是对学生设计能力、动手能力考查的一个方向。从现行教材上看，教材上有制作三棱柱、三棱锥模型的作业，从教师角度看，不少老师认为与高考无关，未引起重视，甚至从没有让学生做过，其实质是一个教学理念问题。这一试题给我们中学教育敲响了警钟，在我们的教学活动中，倡导学生动手实践、主动参与、探究发现、交流合作，要求学生在“做”、“考察”、“实验”、“探究”、“设计”、“制作”、“想象”、“反思”、“体验”等一系列活动中发现和解决问题（有人说：数学实验也可有立几实验室软件），必须改变过去强调接受学习死记、硬背、机械训练的现状。
四、常用的教学模式简介
在教学中教师时常有这样的困惑，这道题是做（讲）过的，学生怎么又做错了呢？其实，大多数学生在学习中或多或少都存在这样的问题，一看就会，一听就懂，一做就错，一丢就忘，究其原因，学生自身素质固然是一种因素，但不可否认，教师的教法，也是一个重要的制约因素，用什么样的方法可激活学生的思维，激发其求知欲？这是当前广大教师普遍关心的问题，“教学有法，教无定法，贵在得法”，只要我们坚持树立“以学生发展为本”的教育理念，倡导“以学生为学习主体”的教育思想，那么教师的教是最终达到“不需要老师教，而由学生自己去探究式学习”的目的。
提得较多的是，用皮亚杰的“建构主义理论”和弗莱登塔尔的“再创造教学”等理论指导教学过程……建构主义理论的教学特点是：学生自主活动，智力参与，个体体验。
“再创造教学”理论认为：数学教育是一个活动过程在整个活动中，学生应处于一种积极创造的状态，教师的任务在于引导学生探索获得知识，技能和途径的方法，培养学生的创造力。
1、探究性教学法：特点，创设情境，问题定向——多向探究——突破创新、各种课型。
2、阅读讲练法（自学）概念、新课
3、错解分析法（复习课）
4、小组合作学习模式
5、信息技术与课程教学整合
6、学科学习策略等
我校80年代有陈光麟校长倡导的“读读、议议、讲讲、练练”教学模式，本人90年代“问、读、讲、练”模式均深受学生喜爱。2002年我校“十五”重点课题《西部农村信息技术与高中数学校本课程整合的研究》正在运作。
其特点：构建以学生为主体，以教师为主导，以学生自主探究为主线的基于网络环境下的高中数学教学自主探究模式“创设情境——提出问题——自主探索——网上协作——网上测试——课堂小结”。
总之：“教学有法，教无定法，贵在得法”，只要我们坚持树立“以学生发展为本”的教学理念，倡导“以学生为学习主体的教育思想，那么，教师的教是最终达到不需要教师教，而由学生自己去探究式学习”的目的。