数学教学纲要应该利用交流这一手段来加强对数学的理解，以便所有的学生能够-

◆ 组织和强化他们的数学思维以便与他人交流

◆ 连贯而清楚地向同伴、老师及其他人表达数学想法

◆ 通过思考他人的想法和策略扩展他们自己的数学知识

◆ 将数学语言作为一种数学表达的精确方式来加以使用

说明: 幼儿园前-12年级

　　交流是数学教育的基本部分。它是一种方式，通过这种方式，人们可以分享想法，同时它也是理清头脑的工具。当要求学生思考和推理数学问题并交流他们的思考结果时，无论是口头的还是书面的，他们就面临着向听众清楚而有信心地表达他们的想法。通过实践，学生能够发展这种能力。同时，听取别人的解释也可以使学生获得发展智力的机会。可以使数学的观念从复杂的现象中暴露出来的交谈，给参与者提供一个促使想法成熟和取得相互联系的机会。这样的活动也能够帮助学生发展表达数学观念的语言，增加对那种语言的准确性的需要。

　　因此，如果数学教育中充满了丰富的交流，就可以获得下面双重的效益:学生为了学会数学进行交流和学生学会数学地交流。那些积极参加讨论的学生，在讨论中努力证明他们的解决方案是合理的----尤其是面对不同意见的时候----将对数学获得更好的理解( Cobb and Lampert 1998 )，如果在数学课堂上给学生创造机会，鼓励和支持学生听、说、读、写数学，他们将学会数学地交流。

◆ 组织和强化他们的数学思维以便与他人交流

　　通过交流，想法就变成了思考、精确化、讨论和补充的目标。在这个过程中，重要的第一步是组织和理顺一个人自己的思维。想法是转瞬即逝的。当数学的想法和争论能通过演讲或书面清晰而有效地表达出来的时候，它们就更容易被验证和理解。这个过程也有助于建立这些想法的含义和它们的持久性。如果学生能把他们在课堂上听到和看到的数学提取出来作为自己的知识，他们将能够记住这些知识。如果学生能将这些数学想法讲出来或写在纸上，他们的思考也就提高了。想法一旦交流出去，就可以被考察、修补和争论。

　　在数学学习中，思考和交流是绞在一起的。以思考为目的的交流能够成为数学学习的一个很自然的部分，但这需要教师高度的重视和周密的计划。例如，低年级的学生，能够学会解释他们的答案和描述他们的解题策略。教师需要将一些注意力集中在帮助学生学会怎样谈论数学上。这样，为了提高对这段话的思考，教师可以鼓励学生"谈论关于谈论数学"( Cobb，Wood，and Yackel 1994 )。由老师或同学精心提出的思考性的问题，可以激发学生检查他们的推理。

　　书面表达也是促进思考的有效催化剂。一些教师发现人的一个有价值的活动，是在一节课的最后几分钟让学生写出他们在这节课学习到了什么和他们对这节课的内容有什麽问题，这种活动对学生是有价值的。因为他们思考了一天的工作，而且阐述了他们对这节课所学内容的自己的想法，这种活动对教师也是有用的，因为它可以作为一种评估。还有一个好处是，这种活动也能提醒学生，他们和教师一样对这节课所学内容是负有责任的。( Silver，Kilpatrick，and Schlesinger 1990 )。教师还可以使用其他一些设计更加精心的写作方式来培养学生的写作思考能力，包括写日记，航海日志和记录文件目录等。每一种这样的活动都能提供学生一个组织和阐明他们想法的机会。

◆ 连贯而清楚地向同伴、老师及其他人表达数学想法

　　数学想法只有在一个团体内被接受时，才获得承认。在这个专业的数学团体中，要定期讨论关于证明一个数学结论的可接受性。要想证明一个结论是正确的，它首先必须在这个团体内得到承认。虽然学生并没有试图发表自己对早期数学研究的看法，但他们可以从经历类似的活动中获益。学生需要获得在班级这个数学团体中检验他们的想法的机会，去看一看它们是否能被理解，是否有足够的说服力。并且，学生需要知道在这个数学团体中什么可以算做是证据。

　　同其他人的相互影响是使数学想法得到详细的审查、提炼和完善的最基本的方法。那些用批评的态度听取报告并且常常能给出解释和修正意见的人往往深深地致力于数学。这时就不仅仅是对这个数学想法的提炼，而且也有一种自己所有的感觉。当一名同学努力使持有怀疑态度的同伴相信一个数学断言的有效性时，在班级这个团体中出现的结果是生动的，也是很有说服力的，而那些理由却很少与书中的解释相联系。当学生们两个一起或分小组学习时，他们用来考察他们的尝试性的想法和听取小部分同学的反映及想法的机会就相对少一些。适当的相互影响的结构有助于学生学会听取和仔细表达他们的数学想法。这些经历常常是出现在较大场合前的有益准备。比如，向整个班级解释一个问题的解决方案。再有，当这些想法被大家搞懂的时候，所有学生都能因为参与讨论而获益，并且老师也可以监视学生的学习情况( lampert 1990 )。

　　在班级讨论中，模糊不清的想法可以逐渐清楚，还可以分析得更加深刻；人人都可以提问并从讨论中学到知识。当学生拿出他们解决复杂问题的方案或向同学或老师证明他们的理由是正确的时候，他们对自己的思考将有进一步的见识。通过这样的一个过程，学生们自己的思考变得清楚了，这也使他们分析和提高自己的看法成为可能。错误的概念能够被找出和纠正，新的学习也有了头绪。

　　教师在组织学生讨论时是需要技巧的。首先，老师必须营造一个使学生感觉表达他们自己的想法是自由的这样一个气氛。因为，对于一些学生来说，参加班级讨论是一种挑战。例如，中年级的学生在小组讨论中不愿发言是出了名的。尽管如此，教师在中年级的数学课上仍然能够成功地营造交流丰富的环境。鼓励支持学生是至关重要的，尤其对那些母语不是英语的学生。为了使这些学生从交流丰富的数学课上学到东西，需要给他们更多的鼓励。如果课堂活动结构是适当的，他们完全可以充分地参加( borasi，et al。1998；Fuson et al。 1997；Siver，smith，and Nelson 1995 )。

　　再有，教师对数学交流必须拟订一个恰当的期望。在低年级，一个主要的目的是使学生能够清楚而连贯地表达他们自己，以便其他同学能够明白。到高中毕业时，学生应该能够内化交谈和争论的问题，以使他们习惯于进行清晰和完整的讨论。精心设计的问题和范例可以为学生制定适合年龄的期望。

　　书面交流需要以类似的风格加以培养。在所有年级，学生可以在检验和讨论有疑问的和值得模仿的数学书稿中获益。通过学习有模仿价值的书稿，可以提高学生对清楚表达数学的特征的理解。通过考察和修改需要提高的书稿，学生可以将适当的标准和风格溶入自己的书稿。由于对学生数学知识的书面评估正在日益规范化，所以学生也需要练习适合这种规范化的要求。

　　年纪较小的孩子在入学时往往具有较少的写作技巧。在最初几年，他们可以画画儿、写单词、最后可以造句子。开始的时候，把孩子们的各种各样的理由做出精确联系的不是孩子自己，而可能是老师或家长。在3--5年级，学生学习一系列概念或附加的细节。随着时间的推移，他们的书面表达就会更加精确。达到这种水平，学生就会更明白怎样使自己的书面表达适合读者要求，也更加切合自己的意图。为了某些目的，采用非正式的日常语言或以速写的方式来表达，可能是合适的，对于其他的目的，更需要学生通过正式的数学语言来表达，包括使用恰当的数学概念、精确的术语以及仔细给出的示意图。

　　随着年级的升高，学生的书面表达能力也在不断发展。在6--8年级，由于学生提高了推理、分析、和概括能力，因此在他们的书面表达中就运用了更多的数学概念和形式。这种发展在9--12年级得到继续。学会数学地书写的学习过程类似于学习其他类型的书写。拥有读者的实践是重要的。所以要注意数学争论的专业性，包括数学语言的含义，数学解释和证明的表示和标准。

◆ 通过思考他人的想法和策略扩展他们自己的数学知识

　　在和其他同学讨论问题的过程中，学生可以得到几方面的收益。通常，对某个问题只有一种看法的学生可以从另外一个同学的观点中学到东西，这个观点可能揭示了问题的一个不同侧面。一个学生可能用代数的方法思考的一个问题，而另一位同学可能是利用几何的方法，或两位同学用不同的方法来数同一堆物体。例如，试图用代数的方法解决下面这个问题的同学在列方程时常常遇到困难，但他们可以从利用直观表示的方法解决这个问题的同学那里获益。

　　一个农民有一些兔子和一些笼子。如果在每个笼子中放入2只兔子，那么在所有的笼子都放满以后要剩下4只兔子。如果在每个笼子中放入4只兔子，，那么在所有的兔子都放入笼子后，将有2个笼子空着。问这个农民有多少只兔子?多少个笼子?( Krutreteskii，1979 )

　　在讨论这个问题的各种各样的解决方案中，学生有机会看到别人的观点和方法，评价这个观点和方法的正确性和实用性，并在解决以后的问题中加以使用。

　　对别人的观点进行思考，评价以及建构，这个过程是相当复杂的，为了想出多种方法解决问题，学生需要学会听取同伴的意见，虽然这些同伴可能仍然处在提高自己熟悉数学概念和术语的过程中。学生也必须学会提问和探究另外一个人的想法，以便完善想法。另外，需要承认并非所有的方法都具有同样的价值，学生必须学会考察他人的方法和观点，以便确定它们的功能和局限性。通过仔细地听取和思考他人的观点，学生就学会成为对数学有着批判眼光的思考者。成为一个好的数学交流者的一部分是真正领会这些行为的意图，学会批判地回顾自己的观点。如果学生在课堂上可以经常获得从事这种行为的机会，这更有可能成为其终身的习惯。

　　在这段描述中隐含着这样一种信念:学生必须严肃认真地学习，对他们自己的智力发展要承担一定的责任，同时也暗示着这样一个事实:学生需要学习值得讨论的数学问题。学生期望的 能用发展较好的演绎方法进行推理的问题，对于这种讨论并不是一个好选题。然而，非常规问题常常有助于丰富交谈。技术是另外一种好的催化剂。当学生在利用计算机或计算器计算或检查数字或物体时他们有一个共同的(常常较易修订的)参考来讨论他们的数学想法。

◆ 将数学语言作为一种数学表达的精确方式来加以使用

　　学生往往习惯于使用日常的和熟悉的语言来叙述他们对数学的理解。这就为建立与正式数学语言的联系提供了基础。正如在<<课程与评价标准>>中叙述的那样"数学语言依赖语言的现成结构和逻辑，并且把学生的经验和语言与数学世界联系起来"。然而，有时日常语言和数学语言是不相匹配的。将日常语言运用到数学领域常常是不精确的和错误的。例如，"面积"、"因子"和"相似"在数学中有着特殊的含义，这不同于它们在一般语言中的用法。学生需要帮助建立它们在数学课堂和课外的语言用法的桥梁。

　　给学生提供经验是重要的。这些经验有助于学生欣赏数学语言的力量和精确性。例如，6-8年级的学生描述各种各样多边形的形状有一定的困难，但他们能够欣赏向" 的"，" 的"这些词语的价值。这些词语是从一般语言的各种措辞中选择出来的，包括"插入"，"像M"或"正交"这些词语在这样的讨论中很自然地出现。在初中和高中应该要求学生使用精确的数学定义，然而，避免盲目地使用正规的数学语言是重要的，尤其在低年级，甚至高年级也是如此。允许学生致力于他们自己的想法，发展他们自己的非正规的表达方式，是培养他们坚持不懈和主人公精神的有效方法。事实上，由学生的不精确引起的的混淆能够帮助他们增加对使用精确定义和传统的数学形式的需要。老师对这一时刻应该是敏感的:此时学生使用自己的语言的价值高于数学精确化的价值。

　　技术为语言的发展和分析提供其他的机遇和挑战。广泛使用的符号可能与那些被数学家普遍接受的符号有关(但没必要一定是一样的)。学生将通过比较标准的数学表达和那些像在电子表格和计算器中普遍使用的表达中学到东西