【教学结构】

功是力的空间积累效果。有力做功，一定有能的转化或转移；功是能的转化或转移的量度。弄清一个物理过程中能量的变化情况，才能更深刻地理解这个过程，从而做出正确的判断。学习“功和能”，重点掌握以下知识点：

1．理解功的概念，掌握功的计算方法。做功总伴随能的转化或转移，功是能量转化或转移的量度。计算恒力的功时用W=Fscosα，其中α是力F与位移S的夹角，它可以理解为位移方向的分力与位移的乘积或力的方向的分位移与力的乘积。在计算或定性判断做功情况时，一定要明确是哪个力的功。

2．会判断正功、负功或不做功。判断方法有：

（1）用力和位移的夹角α判断    当0≤α＜90°，力做正功

   当α=90°时，力做功为零

   当90°＜α≤180°，力做负功

（2）用力和速度的夹角θ判断定     当0≤θ＜90°，力做正功

     当θ=90°时，力不做功

     当90°＜θ≤180°时，力做负功

（3）用动能变化判断   当某物体的动能增大时，外力做正功

      当某物体的动能不变时，外力不做功

      当某物体的动能减小时，外力做负功

    3．了解常见力做功的特点

   重力做功和路径无关，只与物体始末位置的高度差h有关：W=mg h，当末位置高于初位置时，W＞0，即重力做正功；反之则重力做负功。

   滑动摩擦力做功与路径有关。当某物体在一固定平面上运动时，滑动摩擦力做功的绝对值等于摩擦力与路程的乘积。

   在弹性范围内，弹簧做功与始末状态弹簧的形变量有关系。

4．理解力和功率的关系。某力做功的瞬时功率P与该瞬时力的大小F，速度υ及它们的夹角α有关：P=Fυcosα。应用此式时注意两点：一是明确F指的哪个力；二是明确α是力与速度的夹角。当我们用P=Fυ分析汽车或汽船（此时cosα=1）的运动时，要注意条件。如果汽车启动时可以看作匀加速直线运动，阻力可看作大小不变的力，则汽车的牵引力F的大小不变，由P=Fυ可知发动机的功率是逐渐增大的。但是当功率达到额定功率时不再增大，由P=Fυ可知牵引力F将逐渐减小，即汽车启动时做匀加速运动的时间是有限度的。在发动机功率不变的条件下，汽车加速运动的加速度将不断减小。

5．掌握动能和动能定理  动能E_K=mυ²是物体运动的状态量，功是与物理过程有关的过程量。动能定理是：在某一物理过程中，外力对某物体做功等于该物体末态动能与初态动能之差，即动能增量，用数学表示为åW=－。动能定理表达了过程量功与状态量动能之间的关系。在应用动能定理分析一个具体过程时，要做到三个“明确”，即明确研究对象（研究哪个物体的运动情况），明确研究过程（从初状态到末状态）及明确各个力做功的情况。

6．理解势能  势能与相互作用的物体之间的相对位置有关，是系统的状态量。例如重力势能与物体相对地面的高度有关，弹性势能与物体的形变有关。势能的大小与参考点（此处势能为零）的选取有关，但势能的变化与参考点无关。重力势能的变化与重力做功的关系是W_G=Ep₁－Ep₂=mgh₁－mgh₂；弹性势能的变化与弹簧做功有类似的关系。要区分重力做功W_G=mgh中的“h”和重力势能Ep=mgh中的“h”，前者是始末位置的高度差，后者是物体相对参考面的高度。

7．掌握机械能  一个物体系统动能和势能的总和，叫它的机械能。我们研究一个物体A，地球和一个轻弹簧组成的系统，其中A和弹簧，地球以某种方式相连。在A的某个运动过程中，可能有重力做功W_重、弹簧做功W_弹，还可能有摩擦力、推力、拉力等其他外力做功W_其他；在初态的物体A的动能为mυ₁²，系统的重力势能为mgh₁，弹性势能为Ep₁，末态A的动能为mυ₂²，系统的重力势能为mgh₂，弹性势能为Ep₂。由动能定理可以得出：

åW=mυ₂²－mυ₁²或W_重+W_弹+W_其他=mυ₂²－mυ₁²            (1)

 

而W重=mgh₁－mgh₂，

W_弹=Ep₁－Ep₂                                   (2)

由（1）（2）可得

W_其他=(mυ₂²+mgh₂+Ep₂)－(mυ₁²+mgh₁+Ep₁)=E₂－E₁  (3)

上式中E₁=mυ₁²+mgh₁+Ep₁为系统初态机械能，E₂=mυ₂²+mgh₂+Ep₂为系统末态机械能。

从上式可以看出，在一个物理过程中，如果只有系统内部的重力和弹簧做功，则系统的机械能变化为零，即机械能守恒。机械能守恒定律是力学中的重点定律，它的另一种表述是：如果没有介质阻力做功，只发生动能和势能的相互转化，则机械能保持不变。应用机械能守恒定律分析问题时，要（1）注意所研究的过程是否符合机械能守恒的条件；（2）明确研究系统；（3）明确研究过程。

从（3）式还可以看出，除系统内部的重力、弹力以外，其他外力的功W_其他决定了机械能的变化情况，当W_其他＞0时，E₂＞E₁，机械能增大，当W_其他＜0时，E₂＜E₁，机械能减小。例如钢丝绳吊一重物减速上升，把重物、地球看作一个系统，钢丝绳的拉力作正功，系统的机械能是增大的。

8．理解“摩擦生热”  设质量为m₂的板在光滑水平面上以速度υ₂运动，质量为m₁的物块以速度υ₁在板上同向运动，且υ₁＞υ₂，它们之间相互作用的滑动摩擦力大小为f，经过一段时间，物块的位移为s₁，板的位移s₂，此时两物体的速度变为υ′₁和υ′₂由动能定理得

 

 

   

   -fs₁=m₁υ′₁²－m₁υ₁²               (1)

 fs₂=m₂υ′₂²－m₂υ₂²                 (2)

在这个过程中，通过滑动摩擦力做功，机械能不断转化为内能，即不断“生热”，由能量守恒定律及（1）（2）式可得

Q=(m₁υ₁²+m₂υ₂²)－(m₁υ′₁²－m₂υ′₂²)=f(s₁－s₂)    （3）

由此可见，在两物体相互摩擦的过程中，损失的机械能（“生热”）等于摩擦力与相对路程的乘积。

 

   【解题要点】

例1  物体A从斜面体B的顶端滑到底端，则  （    ）

A.若B不动, 支持力对A不做功

  B.若B向左平移, 支持力对A做正功

  C.若B向右平移, 支持力对A做负功

D.无论B动不动, 支持力对A都不做功

分析和解答  某力做功的情况由力和位移的夹角

α决定。当B不动时，位移平行斜面，而支持力

总与斜面垂直，因此A正确。当斜面体B向左

平移时，位移与支持力的夹角为锐角，因此B正确；当B向右平移时，力与位称的夹角为钝角，如右图所示，因此C正确。D错误。

点评  根据物理情景，画出相应的几何关系图，由图来判断力与位移的关系，是一种比较可靠的方法。

例2  手握细绳的一端，绳的另一端系一沙包，上下移动绳端沙包在竖直平面内绕手做圆周运动。当沙包自下向上运动时，手向上移动；当沙包由上向下移动时，手向下移动。沙包顺时针方向运动。不计空气阻力。关于绳的拉力做功的情况，下列叙述中正确的是（  ）

A.在N处，拉力做正功     

B.在M处，拉力做正功

   C.在P处，拉力不做功

D.在Q处，拉力不做功M             N

分析和解答  沙包绕手做圆周运动，而

手在上下移动，因此以地面为参照物，

沙包的运动轨迹是竖直方向略长，水

平方向略短的闭合曲线。拉力的方向总是沿绳的方向 。沙包  Q          P

的速度总在轨迹的切线方向。由题意可知，在M、N、P、

Q四点，拉力与速度的夹角都是锐角，拉力做正功。因此A、B正确。

例3  列车在恒定功率机车的牵引下，从车站出发行驶5分钟，速度达到20m/s，那么在这段时间内，列车行驶的路程（     ）

  A.一定小于3km                   B.一定等于3km

  C.一定大于3km                  D.不能确定

分析和解答  列车在恒功率下行驶，牵引力随

速度的增大而减小，因此列车做初速度为零的

加速度不断减小的加速运动，其速度图象如右

图中的①所示。再画出直线②作为参考，它代表匀加速直线运动。对比两条图线可知，如果列车做匀加速直线运动，在5min内速度由0增加到20m/s，它的路程是，在相同时间内，恒功率时的运动比匀加速运动的路程长。因此C选项是正确的。

点评  解此题有两点值得注意，一是分析对比的方法在定性分析物理问题时很有用。

例4  额定功率为80km，质量为2.0t的汽车，在平直公路上行驶。在汽车的速度υ≤10m/s时，汽车受到的阻力保持不变，当υ＞10m/s时，阻力与速度成正比f=kυ=200υ(N)。问：

（1）汽车的最大行驶速度多大？

（2）如果汽车的速度为10m/s时，发动机的功率为额定功率，此时的加速度为多大？

（3）如果速度达到10m/s以前，汽车做匀加速直线运动，达到10m/s后保持发动机功率为额定功率，那么汽车做匀加速运动的时间多长？

分析和解答  (1)汽车以最大速度行驶时，发动机功率一定是额定功率，而且此时汽车的运动一定是匀速直线运动。设最大速度为υ_m，汽车牵引力F=P_额/υ，阻力f=kυ_m，匀速运动时有

    F=f     或=kυ_m

所以

     υ_m==20m/s

(2)加速度由牛顿第二定律求出

      a=①

    υ=10m/s时的牵引力和阻力分别是：

          F=   ②            f=kυ③

由①②③式得出

          a==3m/s²

    （3）在速度达到10m/s以前，阻力保持不变，匀加速直线 运动就意味着牵引力不变而功率增大，而功率的最大值应是额定功率，因此匀加速直线运动的时间有一限度t₀。由前述分析可知，=10m/s时，a=3m/s²，此为匀加速直线运动的末速度和加速度，因此

           t₀==3.3(s)

点评  汽车运动的不同阶段有不同的运动规律，“匀加速直线运动”、“功率为额定功率”、“最大速度”是不同阶段的运动情况。应在弄清运动情况的基础，运用物理公式。

例4  总质量为M的列车在平直轨道上匀速前进，途中一节质量为m的车厢脱钩，当司机发现脱钩并关闭发动机时，列车已前进了l。若列车前进时受到的阻力与重力成正比，求列车的两部分都停止时相距多远？

分析和解答  先分析物理情景：车厢脱钩后在阻力作用下作匀减速直线运动；由于车厢脱钩前而列车的阻力减小，在关闭发动机以前，列车做匀加速直线运动，关闭发动机之后做匀减速直线运动。讨论物体在不同力的作用下的运动距离问题，可以用动能定理。

设阻力与重力的比值μ，机车牵引力为F，当整个列车匀速运动时，

             F=μMg                           ①

脱钩车厢的阻力为μmg，脱钩后运动的位移为S_m，由动能定理有

            -μmgS_m=0－mυ₀²              ②

式中υ₀为列车匀速运动时的速度。设脱钩后前部分列车的总位移为S_M-m，由动能定理有

Fl－μ(M－m)g S_M-m=0－(M－m)υ₀²           ③

由①②③式可得

S_M-m－S_m=                                ④

两部分列车之间的距离△S为

△S=S_M-m－S_m=

点评  此题也可以用牛顿运动定律求解，比较而言，用动能定理比较简单。

例5  一传送皮带与水平面夹角为30°，以2m/s的恒定速度

顺时针运行。现将一质量为10kg的工件轻放于底端，经一段时间

送到高2m的平台上，工件与皮带间的动摩擦因数为（μ=），

求带动皮带的电动机由于传送工件多消耗的电能。

分析和解答  首先要弄清什么是电动机“多消耗的电能”。当皮带空转时，电动机会消耗一定的电能。现将一工件置于皮带上，在摩擦力作用下，工件的动能和重力势能都要增加；另外，滑动摩擦力作功还会使一部分机械能转化为热，这两部分能量之和，就是电动机多消耗的电能。

设工件向上运动距离s时，速度达到传送带的速度υ，由动能定理可知

-mgs sin30°+μmgcos30° s=0－mυ²

代入数字，解得s=0.8m，说明工件未到达平台时，速度已达到υ，所以工件动能的增量为

      △Ek=mυ²=20J

工件重力势能增量为

     △Ep=mgh=200J

在工作加速运动过程中，工件的平均速度为υ=，因此工件的位移是皮带运动距离

s′的，即s′=2s=1.6m。由于滑动摩擦力作功而增加的内能E为

      △E=f△s=mgcos30°(s′－s)=60J

电动机多消耗的电能为

     △Ek+△Ep+△E=280J

点评  当我们分析一个物理过程时，不仅要看速度、加速度，还要分析能量转化情况。在工件加速和匀速两个阶段，能量转化情况不同。知道了能量变化情况，尤其是“多消耗”电能的涵义，问题就迎刃而解了。

例6  固定光滑斜面体的倾角为θ=30°，其上端固定一个光滑轻质滑轮，A、B是质量相同的物块m=1kg，用细绳连接后放置如右图，从静止释

放两物体。当B落地后不再弹起，A再次将绳拉紧后停止运动。

问：（1）B落地时A的速度？

（2）A沿斜面上升的最大位移？

（3）从开始运动到A、B均停止运动，整个系统损失了多少机械能？

分析和解答  从静止释放A、B后，由于绳的作用，A、B具有共同速率；又由于无摩擦系统机械能守恒；B落地时与地碰撞，其动能变为热；绳的拉力消失后，A继续沿斜面向上运动，其机械能守恒；当A再次将绳拉紧后，A停止运动，其动能损失掉，转变为热（绳对A做功）。

设B落地时A、B的速度为υ，根据机械能守恒定律，系统重力势能的减少量等于系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量：

           m_Bgh－m_Aghsinθ=(m_A+m_B)υ²

得出       υ=1m/s

设B落地后A沿斜面向上运动的最大位移为s，对A应用机械能守恒定律：

       m_Agssinθ=m_Aυ²

由此得   s=0.1m

A沿斜面运动的最大位移为S_A=h+s=0.2+0.1=0.3m

从释放A、B到A、B均停止运动，系统机械能的损失E为初态机械能E₁与末态机械能E₂之差：

         E=E₁－E₂=m_Bgh－m_AgS_Asin30°=0.5J

点评  分析清楚每个阶段运动情景，尤其是能量变化特征，是解此题的关键。

 

   【课余思考】

    1．举例说明做功和能量之间的关系,既要定性说明，又要定量关系.

如何计算变力做功？若质量为m的物体在水平推力作用下在水平面上绕半径为R的圆运动一周，动摩擦因数为μ，摩擦力做功如何计算？

如何判断一个物理过程中机械能是否守恒？

 

   【同步练习】

1．用细绳将小球A、B连接起来并悬挂于0点，

把它们从右图所示位置由静止开始释放，在小球向下摆动

过程中（   ）

  A.绳OA对A球做正功       B.绳AB对B球不做功

  C.绳AB对A球做负功       D.绳AB对B球做正功

2．如右图所示，板长为l，板的B端放有质量为m的小物体P，物体与板的摩擦因数为μ。开始时板水平，若板缓慢转过一个小角度α的过程中，物体保持与板相对静止，则在这个过程中（    ）

      A.摩擦力对P做功为mglcosα(1－cosα)

      B.摩擦力对P做功为mglsinα(1－cosα)

      C.弹力对P做功为mglsin²α    

D.板对P做功为mglsinα

3．如右图所示，水平传送带保持1m/s的速度运动。一质量为1kg的物体与传送带间的动摩擦因数为0.2。现将该物体无初速地放到传送带上的A点，然后运动到了距A 1m的B点，则皮带对该物体做的功为（    ）

A. 0.5J     B. 2J     C. 2.5J     D. 5J

4．如右图所示，质量相等的重物A、B用绕过

轻小的定滑轮的细线连在一起处于静止状态，

现将质量与A、B相同的物体C挂在水平细绳

的中点P，挂好后立即放手，设滑轮间距

离为2a，绳足够长，求物体下落的最大位移。

 

 

 

 

5．小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点的正

下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A于O

同水平面无初速释放，绳长为l，为使球能绕B点

做圆周运动。试求d的取值范围（见右图）。

 

 

 

 

   【参考答案】1．C D  2．D  3．A  4．a  5．l≤d＜l