一、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题

 

　　找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。

 

　　（04天津）钍核发生衰变生成镭核并放出一个粒子。设该粒子的质量为、电荷量为q，它进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极和间电场时，其速度为，经电场加速后，沿方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，垂直平板电极，当粒子从点离开磁场时，其速度方向与方位的夹角，如图所示，整个装置处于真空中。

 

　　（1）写出钍核衰变方程；

 

　　（2）求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径R；

 

　　（3）求粒子在磁场中运动所用时间。

 

 

　　解析:（1）钍核衰变方程   ①

 

　　（2）设粒子离开电场时速度为，对加速过程有

 

　　　　②

 

　　粒子在磁场中有　　③

 

　　由②、③得  ④

 

　　（3）粒子做圆周运动的回旋周期

 

　　     ⑤

 

　　粒子在磁场中运动时间    ⑥

 

　　由⑤、⑥得  ⑦

 

　　二、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题

 

　　导致轨道半径变化的原因有：①带电粒子速度变化导致半径变化。如带电粒子穿过极板速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等。②磁场变化导致半径变化。如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化。③动量变化导致半径变化。如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞；④电量变化导致半径变化。如吸收电荷等。总之，由看m、v、q、B中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化。

 

 

　　（06年全国2）如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B₁与B₂的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B₁＞B₂。一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B₁与B₂的比值应满足什么条件？

 

　　解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v，交替地在xy平面内B₁与B₂磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为和r₂，有

 

　　r₁＝　　①    r₂＝　　②

 

　　分析粒子运动的轨迹。如图所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r₁的半圆C₁运动至y轴上离O点距离为2 r₁的A点，接着沿半径为2 r₂的半圆D₁运动至y轴的O₁点，O₁O距离

 

　　d＝2（r₂－r₁）　　③

 

 

　　此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y轴出发沿半径r₁的半圆和半径为r₂的半圆回到原点下方y轴），粒子y坐标就减小d。

 

　　设粒子经过n次回旋后与y轴交于O_n点。若OO_n即nd满足  nd＝2r₁   ④

 

　　则粒子再经过半圆C_n+1就能够经过原点，式中n＝1，2，3，……为回旋次数。

 

　　由③④式解得　⑤

 

　　由①②⑤式可得B₁、B₂应满足的条件

 

　　　　　n＝1，2，3，……⑥

 

　　三、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题

 

　　带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字

 

　　（07全国1）两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0，0<x<a的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在y>0，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0<x<a的区域中运动的时间与在x>a的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。

 

 

　　解析：粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为：   ①

 

　　速度小的粒子将在x<a的区域走完半圆，射到竖直屏上。半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a，屏上发亮的范围从0到2a。

 

　　轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。

 

 

　　速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和，C在y轴上，有对称性可知在x=2a直线上。

 

　　设t₁为粒子在0<x<a的区域中运动的时间，t₂为在x>a的区域中运动的时间，由题意可知

 

　　

 

　　由此解得：  ②       ③

 

　　由②③式和对称性可得            ⑤

 

　　    ⑥    所以        ⑦

 

　　即弧长AP为1/4圆周。因此，圆心在x轴上。

 

　　设速度为最大值粒子的轨道半径为R，有直角可得

 

　　    ⑧

 

　　由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标

 

　　   ⑨

 

　　四、带电粒子在有界磁场中的极值问题

 

　　寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。

 

 

　　有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如图所示相同的速率v₀向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。

 

　　解析：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R＝mv₀/Be是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O₁，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O₁O₂O_n。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O₂而言，要使电子能平行于x轴向右飞出磁场，过O₂作弦的垂线O₂A，则电子必将从点A飞出，相当于将此轨迹的圆心O₂沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O₁O₂O_n沿y方向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧OAP与弧OBP所围。利用正方形OO₁PC的面积减去扇形OO₁P的面积即为OBPC的面积；即R²-πR²/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为S＝2（R²-πR²/4）＝（π/2 -1）（mv₀/Be）²。

 

　　五、带电粒子在复合场中运动问题

 

　　复合场包括：磁场和电场，磁场和重力场，或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡问题，匀变速运动问题，非匀变速运动问题，在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点。粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果。

 

　　（07四川）如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方形的匀强电场，场强大小为E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A是y轴上的一点，它到座标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O点的距离为l，一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入大磁场区域，并再次通过A点。此时速度方向与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：

 

 

　　（1）粒子经过C点时速度的大小合方向；

 

　　（2）磁感应强度的大小B。

 

　　解析：（1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有

 

　　        ①

 

　　加速度沿y轴负方向。设粒子从A点进入电场时的初速度为v₀，由A点运动到C点经历的时间为t，则有    ②

 

　　         ③

 

　　由②③式得          ④

 

　　设粒子从点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量

 

　　v₁＝      ⑤

 

　　由①④⑤式得

 

　　v₁＝＝   ⑥

 

　　设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α，则有

 

　　tanα＝        ⑦

 

　　由④⑤⑦式得     ⑧

 

　　（2）粒子经过C点进入磁场后在磁场中作速率为v的圆周运动。若圆周的半径为R，则有

 

　　       ⑨

 

 

　　设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂且有＝＝R。用β表示与y轴的夹角，由几何关系得        ⑩

 

　　     ⑾

 

　　由⑧⑩⑾式解得

 

　　R＝   ⑿

 

　　由⑥⑨⑿式得

 

　　B＝   ⒀

 

　　六、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题

 

　　多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解，在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B；一质量为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射出；则B必须满足什么条件？

 

 

　　带电粒子在磁场中的运动时间分析：由于粒子从A处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动，要使粒子又从A处沿半径方向射向磁场，且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子与筒壁的碰撞次数为n（不含返回A处并从A处射出的一次），由图可知其中n为大于或等于2的整数（当n＝1时即粒子必沿圆O的直径作直线运动，表示此时B＝0）；由图知粒子圆周运动的半径R，再由粒子在磁场中的运动半径可求出。

 

　　粒子在磁场中的运动周期为，粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得，粒子从A射入磁场再从A沿半径射出磁场的过程中将经过n+1段圆弧，故粒子运动的总时间为：，将前面B代入T后与共同代入前式得。

 

　　练习

 

　　1．一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它运动的平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（　　）

 

　　A．　　B．　　C．　　D．

 

　　2．（07宁夏）在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点（AP＝d）射入磁场（不计重力影响）。

 

 

　　⑴如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度。

 

　　⑵如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ（如图）。求入射粒子的速度。

 

　　3．（新题）如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B₁＝2B₂，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V₀沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。（粒子重力不计）

 

 

　　4．一质量m、带电q的粒子以速度V₀从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。

 

 

　　5．如图所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V₀垂直射入磁场中；要使粒子必能从EF射出则初速度V₀应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？

 

 

　　参考答案：

 

　　1．AC

 

　　2．  

 

　　3．

 

　　4．

 

　　5．